En bref — L’homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure en gardant ses proportions.
Elle est définie par un centre d'homothétie (un point invariant) et un rapport d'homothétie (k) (le coefficient).
Si (k>1) : agrandissement ; si (0<k<1) : réduction ; si (k<0) : inversion autour du centre.
Les angles sont conservés et les droites parallèles restent parallèles.
En 2026, on la retrouve partout : zoom numérique, plans à l’échelle, mise à l'échelle 3D, CAO, SVG/CSS.
Qu'est-ce que l'homothétie : définition et principe fondamental
Définition mathématique de l'homothétie
Une homothétie transforme une figure en une autre figure semblable, plus grande ou plus petite, sans la déformer. Concrètement, chaque point (M) d’une figure est envoyé vers une image d'un point (M') située sur la droite ((OM)), où (O) est le centre. La distance au centre est multipliée par un nombre réel (k) : si vous doublez toutes les distances au centre, vous obtenez la même forme « en plus grand ».
Cette idée est ancienne dans la pratique (dessins à l’échelle), mais le mot « homothétie » est attribué au mathématicien français Michel Chasles. Le terme vient du grec homo- (ὁμός, « semblable ») et thesis (θέσις, « position ») : on garde une position relative « semblable » par rapport au centre, à un facteur près. En classe, c’est exactement ce que vous cherchez : une règle simple, vérifiable au compas ou à la règle, qui garantit la conservation des proportions.
Un repère concret aide : sur un plan, si un point est à 3 cm du centre, avec (k=0{,}5), son image sera à 1,5 cm du centre, sur la même demi-droite. La figure « rétrécit » mais reste reconnaissable, car les longueurs se réduisent toutes dans le même rapport.
Différence entre homothétie et autres transformations
On confond souvent homothétie avec translation, rotation ou symétrie, parce que tout cela « bouge » une figure. La différence clé : l’homothétie change la taille, pas les autres transformations usuelles. Une translation déplace tout d’un même vecteur : les distances entre points restent identiques. Une rotation tourne autour d’un centre avec un angle : la taille ne change pas non plus.
L’homothétie est un cas particulier de similitude : une similitude peut combiner une mise à l’échelle et une rotation ; l’homothétie correspond au cas « mise à l’échelle sans rotation ». C’est aussi pour cela qu’elle est très liée au théorème de Thalès : dès que vous avez des droites parallèles qui découpent des segments proportionnels, vous retrouvez l’idée « mêmes directions, longueurs multipliées par un facteur ». Sur un triangle, si vous tracez une parallèle à un côté, vous construisez implicitement une homothétie entre le petit triangle et le grand.
| Transformation | Centre fixe ? | Taille modifiée ? | Angles conservés ? | Idée simple |
|---|---|---|---|---|
| Translation | Non | Non | Oui | Déplacement « glissé » |
| Rotation | Oui | Non | Oui | Tourner autour d’un point |
| Symétrie axiale | Axe | Non | Oui | Miroir |
| Homothétie | Oui | Oui | Oui | Agrandir/réduire autour d’un centre |
A retenir — L’homothétie est une similitude sans rotation : elle conserve la forme (angles) et ne change que l’échelle des longueurs.
Les deux éléments caractéristiques de l'homothétie
Le centre d'homothétie : point invariant de référence
Le centre d'homothétie (O) est le point autour duquel tout s’organise. C’est un point invariant : il ne bouge pas, son image est lui-même. Tous les autres points s’éloignent du centre (si (|k|>1)) ou s’en rapprochent (si (0<|k|<1)). La direction est imposée : l’image (M') d’un point (M) se trouve sur la droite qui passe par (O) et (M).
En pratique, le centre sert de « pivot d’échelle ». Sur une carte, si vous choisissez un point de référence (un carrefour, un repère), agrandir le plan autour de ce point revient à garder ce point fixe et à multiplier toutes les distances à ce point. En géométrie, cela permet de contrôler la construction : si l’image d’un point n’est pas alignée avec le centre, ce n’est pas une homothétie.
Un cas fréquent en exercices : on vous donne deux triangles (ABC) et (A'B'C') supposés homothétiques. Le centre est alors l’intersection des droites ((AA')), ((BB')) et ((CC')) (quand la configuration est correcte). Cela donne une méthode robuste, utile quand on doute de ses tracés.
Le rapport d'homothétie : coefficient de transformation
Le rapport d'homothétie (k) est le coefficient qui dit « combien de fois » on agrandit ou on réduit. Les cas à connaître, parce qu’ils tombent souvent en contrôle :
- (k>1) : agrandissement (les distances au centre augmentent).
- (0<k<1) : réduction (les distances au centre diminuent).
- (k=1) : transformation identité (chaque point reste à sa place).
- (k<0) : on multiplie les distances par (|k|) et on place l’image de l’autre côté du centre, ce qui correspond à un demi-tour (inversion de direction).
- (k=-1) : c’est exactement la symétrie centrale de centre (O).
Pour sentir (k), prenez un segment ([OM]). Si (k=3), alors (OM'=3\cdot OM) sur la même demi-droite. Si (k=-0{,}5), alors (OM'=0{,}5\cdot OM) mais sur la demi-droite opposée : l’image est plus proche du centre, mais « de l’autre côté ».
L'essentiel — Une homothétie se résume à deux choix : un centre fixe (O) et un rapport (k) qui multiplie toutes les distances au centre (avec inversion si (k<0)).
Formule et construction de l'homothétie
Formule vectorielle de l'homothétie
La formule la plus utile en repère vient des vecteurs. Dans un espace vectoriel, une homothétie de centre (O) et de rapport (k) s’écrit :
[
\overrightarrow{OM'} = k,\overrightarrow{OM}.
]
Elle dit exactement ceci : le vecteur vers l’image d'un point (M') est (k) fois le vecteur vers (M). En coordonnées dans un repère cartésien, si (O) est l’origine, alors (M(x,y)) devient (M'(kx,ky)). Si le centre n’est pas l’origine, on translate : on travaille avec les vecteurs (\overrightarrow{OM}).
Un mini-calcul typique niveau seconde : centre (O(2,1)), point (M(6,5)), rapport (k=0{,}5).
On calcule (\overrightarrow{OM}=(4,4)). Alors (\overrightarrow{OM'}=(2,2)). Donc (M'=O+(2,2)=(4,3)). Vous pouvez vérifier sur un dessin : (M') est au milieu du segment ([OM]).
Ces écritures expliquent aussi pourquoi, en algèbre linéaire, une homothétie est une application linéaire (h_\lambda=\lambda,Id) (même facteur sur toutes les directions). C’est la raison pour laquelle elle « traite » toutes les directions de la même façon : aucune direction n’est favorisée.
Construction géométrique pas à pas
Pour construire une homothétie à la règle et au compas, vous n’avez pas besoin de formules, juste d’alignement et de multiplication de longueurs.
- Tracez la droite passant par le centre (O) et le point (M).
- Placez (M') sur cette droite, en respectant (OM' = |k|\cdot OM).
- Si (k>0), (M') est du même côté que (M) par rapport à (O). Si (k<0), (M') est de l’autre côté.
- Recommencez pour plusieurs points de la figure, puis reliez les images dans le même ordre.
Sur papier, « multiplier une longueur » se fait souvent avec Thalès : vous construisez un triangle auxiliaire et une parallèle pour obtenir un segment proportionnel. Sur écran (tablette, GeoGebra), un calculateur interactif rend la vérification immédiate : vous déplacez (k) avec un curseur et vous observez la figure qui se met à l’échelle sans perdre ses angles.
En resume — En géométrie, une homothétie se construit par alignement avec le centre et proportionnalité des distances ; en coordonnées, elle se calcule avec (\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}).
Comment faire une homothétie de rapport 2 : exemple pratique
Étapes détaillées avec un triangle
Avec un rapport (k=2), tout devient lisible : chaque point est deux fois plus loin du centre. Prenez un triangle (ABC) et un centre (O) (souvent donné sur la feuille). Pour construire l’image (A'B'C') :
- Tracez ((OA)) et placez (A') sur cette droite avec (OA' = 2\cdot OA).
- Tracez ((OB)) et placez (B') avec (OB' = 2\cdot OB).
- Tracez ((OC)) et placez (C') avec (OC' = 2\cdot OC).
- Reliez (A'B'C').
Si vous mesurez ensuite (A'B') et (AB), vous constaterez (A'B' = 2\cdot AB). Les angles (\widehat{A}) et (\widehat{A'}) restent égaux. Sur une copie, c’est une vérification rapide pour éviter l’erreur classique : placer un point au mauvais endroit sur la droite.
En usage « réel », c’est la même logique qu’un plan imprimé en « 200% » autour d’un point de repère : les distances doublent, la forme globale reste identique.
Cas du rapport négatif : homothétie de rapport -1
Le rapport (k=-1) est un cas à connaître par cœur : il donne la symétrie centrale de centre (O). Chaque point (M) a pour image (M') tel que (O) soit le milieu de ([MM']). La distance est identique ((|k|=1)), mais la direction est opposée : (M') est « de l’autre côté » du centre.
C’est utile parce que beaucoup d’exercices mélangent vocabulaire : on vous parle de symétrie centrale, puis on vous demande de reconnaître que c’est une homothétie particulière. En coordonnées, si (O) est l’origine, (M(x,y)) devient (M'(-x,-y)).
Point cle — Pour (k=2), on double toutes les distances au centre ; pour (k=-1), on obtient exactement une symétrie centrale (même distance, côté opposé).
Propriétés mathématiques de l'homothétie
Conservation des angles et du parallélisme
Une homothétie conserve les angles : la figure image a la même « forme » que la figure de départ. C’est la raison pour laquelle on parle de conservation de la similitude. Les longueurs, elles, sont multipliées par (|k|) : si un segment mesure 4 cm, son image mesure (4|k|) cm.
Le parallélisme est aussi préservé : deux droites parallèles restent parallèles après transformation. Mieux : l’image d’une droite est une droite parallèle (sauf si la droite passe par le centre, auquel cas elle reste sur elle-même). Sur un dessin, c’est un test puissant : si une droite devient « inclinée autrement » au lieu de rester parallèle, la transformation n’est pas une homothétie.
Cette propriété explique un lien fort avec Thalès : dès que vous gardez des parallèles, vous gardez des triangles semblables et des rapports de longueurs constants. C’est exactement le type de justification attendu au collège : « les droites sont parallèles, donc les triangles sont semblables, donc les rapports sont égaux ».
Effet sur les aires et les volumes
Les longueurs sont multipliées par (|k|), donc les aires sont multipliées par (k^2). Si vous passez d’un carré de côté 3 à un carré homothétique de rapport 2, le côté devient 6, et l’aire est multipliée par (2^2=4). C’est un point où beaucoup d’élèves se trompent : on ne multiplie pas l’aire par 2, mais par 4.
En dimension 3, les volumes sont multipliés par (k^3). Un modèle 3D agrandi avec (k=1{,}5) aura un volume multiplié par (1{,}5^3=3{,}375). En géométrie dans l'espace, c’est la base pour comprendre pourquoi une petite variation d’échelle change très vite la quantité de matière, ce qui parle aux usages de mise à l'échelle 3D (impression 3D, CAO).
| Grandeur | Facteur sous homothétie de rapport (k) |
|---|---|
| Longueurs | ( |
| Aires | (k^2) |
| Volumes | (k^3) |
Ce qui compte — Longueurs (|k|), aires (k^2), volumes (k^3) : retenir ces trois facteurs évite la majorité des erreurs de calcul.
Applications concrètes de l'homothétie en 2026
Usages quotidiens et numériques
En 2026, l’homothétie n’est pas qu’un chapitre de géométrie : c’est la logique derrière beaucoup d’outils numériques. Quand vous pincez l’écran pour un zoom numérique, l’application tente de conserver les proportions de l’image : elle agrandit la photo sans changer ses angles et ses formes globales (même si, techniquement, il y a interpolation de pixels).
La cartographie utilise la même idée avec l’échelle : une distance sur la carte correspond à une distance réelle multipliée par un facteur. Quand on change d’échelle (passer d’un plan de quartier à un plan de ville), on fait conceptuellement une homothétie : mêmes directions, distances multipliées, repères conservés.
En photographie, le redimensionnement proportionnel (garder le ratio largeur/hauteur) revient à appliquer une homothétie au rectangle de l’image. Le recadrage, lui, coupe ; mais dès qu’on « scale » l’image en gardant le ratio, on est dans l’esprit de l’homothétie.
Applications professionnelles et techniques
En architecture, les maquettes et plans à échelle réduite sont des homothéties de bâtiments : une maquette au 1/100 conserve les proportions, mais toutes les longueurs sont divisées par 100. Cela permet de vérifier des volumes, des alignements, des circulations, sans construire en vrai.
En modélisation et CAO, le besoin est constant : redimensionner une pièce sans la déformer. C’est exactement ce que cherchent les utilisateurs quand ils parlent d’« homothétie d’une esquisse » avant d’appliquer une contrainte : on veut garder la forme, mais ajuster la taille. Dans les logiciels 3D, la mise à l'échelle 3D applique souvent le même facteur sur (x,y,z) pour rester dans une homothétie (sinon, on fait une dilatation anisotrope, qui déforme).
En design graphique, les formats vectoriels et le web rendent l’homothétie explicite : en SVG, SVG transform="scale(k)" applique une mise à l’échelle ; en CSS, transform: scale(k); agit pareil sur un élément. Si le facteur est identique en largeur et en hauteur, vous gardez les proportions ; si vous mettez deux facteurs différents, vous sortez de l’homothétie et vous étirez.
Enfin, les fractales reposent sur des répétitions de formes à différentes échelles : on retrouve des copies réduites ou agrandies, souvent via des transformations proches de l’homothétie. C’est une porte d’entrée motivante pour relier la géométrie du collège à des objets visuels modernes.
Importance dans le programme scolaire
Au collège (notamment en 3ème) et au lycée (seconde), l’homothétie sert de socle : construction, proportionnalité, triangles semblables, et justification avec Thalès. Côté enseignants, la question du « minimum » revient souvent : pour le brevet, savoir identifier centre et rapport, construire l’image d’une figure simple, et utiliser les effets sur les longueurs suffit généralement. L’approfondissement (écriture vectorielle, composition, lien avec applications affines) devient plus utile au lycée, surtout quand on bascule vers les coordonnées.
Une bonne stratégie pédagogique est de viser trois compétences mesurables : (1) placer correctement l’image d’un point, (2) relier cela à un rapport de longueurs, (3) exploiter parallélisme/angles pour valider. Cela évite d’enseigner « trop abstrait » trop tôt, tout en gardant une base solide pour la suite.
A retenir — En 2026, l’homothétie sert autant à réussir les exercices (construction, Thalès) qu’à comprendre le redimensionnement numérique (images, plans, CAO, SVG/CSS).
FAQ
Quelle est la différence entre l'homothétie et la translation ?
La translation déplace une figure sans modifier sa taille : toutes les distances sont conservées. L’homothétie agrandit ou réduit autour d’un centre fixe, en multipliant les distances par le rapport (k). Dans une translation, il n’y a pas de centre d’homothétie ni de coefficient d’échelle.
C'est quoi le facteur d'une homothétie ?
Le facteur est le rapport (k), appelé aussi rapport d'homothétie. Il indique un agrandissement si (k>1) et une réduction si (0<k<1). Si (k) est négatif, la figure est aussi inversée par rapport au centre.
Comment trouver le centre d'une homothétie ?
Reliez plusieurs paires de points correspondants (par exemple (A) avec (A'), (B) avec (B')). Le centre est l’intersection des droites ((AA')), ((BB')), etc. Vérifiez avec au moins trois paires : si une droite ne passe pas par le même point d’intersection, la correspondance n’est pas une homothétie.
Quelles sont les applications de l'homothétie dans la vie réelle ?
On la retrouve dans les plans et maquettes à échelle en architecture, et en cartographie pour changer d’échelle de lecture. Elle intervient aussi dans le zoom numérique et le redimensionnement proportionnel d’images. En 3D, elle sert à mettre à l’échelle un modèle sans le déformer.
L'homothétie est-elle au programme du brevet ?
Oui, l’homothétie fait partie du programme de 3ème et peut apparaître au brevet. Le niveau attendu porte surtout sur centre, rapport, construction d’images et propriétés simples (proportions, parallélisme). Les approfondissements vectoriels sont plutôt travaillés ensuite au lycée.
