Plus grand commun diviseur exemple : 5 méthodes expliquées pas à pas

Qu'est-ce que le plus grand commun diviseur ?

Définition mathématique du PGCD

Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers (a) et (b), noté PGCD(a,b), est le plus grand entier positif qui divise (a) et (b) sans reste. Dire “divise” signifie qu’on peut écrire (a = d \times k) et (b = d \times m) avec (k) et (m) entiers.

Deux détails évitent beaucoup de blocages quand on débute.
D’abord, 1 est diviseur de tout nombre entier : c’est le “filet de sécurité” qui garantit qu’un PGCD existe toujours (au minimum 1). Ensuite, même si on part de nombres relatifs négatifs, le PGCD reste positif par définition. Par exemple, PGCD(-24, 36) = PGCD(24, 36), car on travaille avec les valeurs absolues quand on cherche un diviseur commun.

On peut vérifier un diviseur en une ligne : 7 est diviseur de 91 parce que (91 = 7 \times 13). Cette logique est exactement celle du PGCD, sauf qu’on cherche le plus grand diviseur commun, pas juste un diviseur.

Différence entre diviseur commun et PGCD

Les diviseurs communs de deux nombres sont tous les entiers qui divisent les deux. Le PGCD est simplement le plus grand de cette liste. La confusion la plus fréquente, surtout en simplification, consiste à s’arrêter à “un” diviseur commun (par exemple 2) alors qu’il en existe un plus grand (par exemple 6).

Sur (12) et (18), les diviseurs de 12 sont (1,2,3,4,6,12) et ceux de 18 sont (1,2,3,6,9,18). Les diviseurs communs sont donc (1,2,3,6), et le plus grand est 6 : PGCD(12,18)=6.
Même logique sur (20) et (30) : les diviseurs communs sont (1,2,5,10), donc PGCD(20,30)=10.

Plus grand commun diviseur exemple avec l'algorithme d'Euclide

Principe de la division euclidienne

L’algorithme d'Euclide repose sur la division euclidienne : quand on divise (A) par (B), on obtient un quotient et un reste. L’idée clé : le PGCD ne change pas si on remplace (A) par le reste de (A) divisé par (B). On recommence ensuite avec le couple ((B, \text{reste})).

Procédure (toujours la même) :

1. Diviser le plus grand nombre par le plus petit.
2. Remplacer le plus grand par le reste obtenu.
3. Répéter l’itération jusqu’à obtenir un reste nul : le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Cette méthode est réputée performante : sur des nombres éloignés, elle évite des dizaines de soustractions. Par exemple, pour PGCD(1326, 546), on peut arriver au résultat en 3 divisions avec Euclide, alors que l’algorithme des différences demande 7 soustractions dans une approche classique.

Exemple détaillé : PGCD de 24 et 36

On veut un plus grand commun diviseur exemple propre, étape par étape, sans sauter de ligne.

• (36 = 24 \times 1 + 12) → le reste est 12
• (24 = 12 \times 2 + 0) → le reste est 0, on s’arrête

Le dernier reste non nul est 12, donc : PGCD(24,36) = 12.
Ce résultat est cohérent avec une vérification rapide : 12 divise 24 ((24=12\times2)) et 36 ((36=12\times3)), et aucun diviseur commun ne peut être plus grand que 12 ici.

Exemple avancé : PGCD de 135 et 150

C’est typiquement le cas qui bloque en remise à niveau, parce qu’on ne “voit” pas le diviseur commun au premier coup d’œil.

• (150 = 135 \times 1 + 15) → reste 15
• (135 = 15 \times 9 + 0) → stop

Donc PGCD(135,150) = 15.
Ce 15 devient immédiatement utile pour simplifier (135/150) (on le fera plus loin), ce qui répond au besoin “je veux réduire la fraction au maximum, pas juste un peu”.

L'essentiel — Euclide marche même quand les nombres sont grands (ex. 95991 et 13083 donnent un PGCD de 147) car chaque reste réduit vite la taille du problème.

Calculer le PGCD par décomposition en facteurs premiers

Méthode de décomposition pas à pas

La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, …). Ensuite, on garde uniquement les facteurs communs avec les exposants minimaux.

Étapes fiables :

• Décomposer chaque nombre en produit de nombres premiers.
• Repérer les facteurs premiers communs (mêmes bases).
• Multiplier ces facteurs en prenant, pour chacun, l’exposant le plus petit.

Le piège classique (et une des erreurs courantes) : prendre les exposants maximaux au lieu des minimaux. Ça donne souvent le PPCM, pas le PGCD.

Exemple : PGCD de 12 et 18

On écrit :

• (12 = 2^2 \times 3)
• (18 = 2 \times 3^2)

Facteurs communs : un (2) et un (3). On prend (2^1) (min entre (2^2) et (2^1)) et (3^1) (min entre (3^1) et (3^2)).
Donc PGCD = (2 \times 3 = 6).

Pour une comparaison visuelle méthodes, voici ce que la décomposition “montre” mieux qu’Euclide : on voit immédiatement pourquoi 12 et 18 partagent un 2 et un 3, mais pas un (2^2) ni un (3^2).

Exemple complexe : PGCD de 135 et 150

On décompose (c’est exactement le genre d’écriture “3×3×3×5” qui crée de la confusion si on ne structure pas) :

• (135 = 3^3 \times 5)
• (150 = 2 \times 3 \times 5^2)

Facteurs premiers communs : (3) et (5). Exposants minimaux : (3^1) et (5^1).
Donc PGCD = (3 \times 5 = 15).

Ce plus grand commun diviseur exemple illustre bien la règle : même si 150 contient (5^2), on ne garde qu’un seul 5 car 135 n’en a qu’un.

Méthode des différences successives pour trouver le PGCD

Principe de l'algorithme des différences

L’algorithme des différences remplace des divisions par des soustractions répétées. On utilise le fait que soustraire un multiple ne change pas les diviseurs communs.

Règle pratique :

• Soustraire le plus petit du plus grand.
• Remplacer le plus grand par la différence.
• Continuer jusqu’à obtenir deux nombres égaux : cette valeur est le PGCD.

Cette méthode est simple à faire sans calculatrice, mais elle peut devenir longue si les nombres sont très éloignés. C’est pour ça qu’un calculateur PGCD (ou Euclide à la main) devient plus confortable dès que les valeurs grossissent.

Exemple pratique : PGCD de 48 et 18

On enchaîne les différences :

• (48 – 18 = 30), puis (30 – 18 = 12)
• (18 – 12 = 6), puis (12 – 6 = 6)

On obtient deux nombres égaux à 6, donc PGCD(48,18) = 6.
On peut vérifier : 48 et 18 sont tous deux multiples de 6 ((48=6\times8), (18=6\times3)).

Applications pratiques du PGCD : simplification et problèmes concrets

Simplifier une fraction avec le PGCD

La simplification de fractions consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Pour réduire “au maximum”, il faut le plus grand : le PGCD.

Sur (135/150), on a vu que PGCD(135,150)=15.
Donc :
[
\frac{135}{150} = \frac{135 \div 15}{150 \div 15} = \frac{9}{10}
]
Si on divisait seulement par 5, on obtiendrait (27/30), qui se simplifie encore. Le PGCD évite ces simplifications en plusieurs étapes.

Même idée en algèbre : un “plus grand facteur commun” permet de factoriser au maximum. Par exemple, le plus grand facteur commun de (3x^3 + 9x^2y + 6x) est (3x), ce qui donne (3x(x^2 + 3xy + 2)). Le rôle du PGCD est le même : sortir ce qui est commun et le plus grand possible.

Problèmes de partage et découpage

Le PGCD sert quand on veut faire des parts égales en utilisant la plus grande taille possible.
Si on a 36 biscuits et 24 biscuits d’un autre type, et qu’on veut faire des sachets identiques sans reste, le nombre maximal de sachets est PGCD(36,24)=12. Chaque sachet contient alors (36/12=3) du premier type et (24/12=2) du second.

Autre lecture : en découpage, si deux longueurs mesurent 24 cm et 60 cm, la plus grande “unité” qui pavera exactement les deux est 12 car PGCD(24,60)=12. On obtient des segments de 12 cm sans chute.

Lien entre PGCD et PPCM

Le PGCD et le PPCM (plus petit commun multiple) sont liés par une formule très utile sur deux entiers (a) et (b) :
[
PGCD(a,b) \times PPCM(a,b) = a \times b
]
Elle permet de trouver l’un si on connaît l’autre. Sur 12 et 18, on sait que PGCD(12,18)=6. Donc :
[
PPCM(12,18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36
]
Ici, “multiple” signifie un nombre de la forme (12k) ou (18k). Le PPCM est le plus petit qui soit multiple des deux.

Quelle méthode choisir pour calculer le PGCD ?

Comparaison des trois méthodes

Chaque méthode a son terrain idéal. Pour éviter d’hésiter, une grille simple aide plus qu’un long discours.

Méthode	Quand l’utiliser	Points forts	Limites
Algorithme d'Euclide	Nombres moyens à grands (ex. 1326 et 546)	Très rapide, peu d’étapes (divisions)	Demande d’être à l’aise avec la division euclidienne
Décomposition en facteurs premiers	Petits nombres, apprentissage	Très visuel, explique le “pourquoi”	Peut devenir lourde si les nombres ont de gros facteurs
Algorithme des différences	Calcul mental, petits nombres proches	Ultra simple (soustractions)	Long si l’écart est grand

Pour un plus grand commun diviseur exemple en contrôle, Euclide est souvent le meilleur compromis : fiable, court, et facile à vérifier avec le dernier reste.

Contexte historique et évolution

L’algorithme d’Euclide vient de l’Antiquité grecque et est associé à Euclide d'Alexandrie. Ce qui impressionne encore en 2026, c’est qu’on l’utilise toujours parce qu’il reste efficace et simple à exécuter.

Ses idées se retrouvent dans des usages modernes, notamment en cryptographie RSA. Sans entrer dans le détail technique, RSA s’appuie sur des propriétés des entiers et des calculs rapides autour des divisions et des restes. Savoir manipuler un PGCD (et détecter quand deux nombres sont “premiers entre eux”, donc PGCD=1) fait partie des bases qui rendent ces systèmes possibles.

FAQ

Quel est le plus grand commun diviseur de 12 et 18 ?

PGCD(12,18) = 6. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Le plus grand diviseur commun aux deux listes est 6.

Comment trouver le plus grand diviseur commun en 3ème ?

La méthode la plus recommandée est l’algorithme d'Euclide avec la division euclidienne : on calcule des restes jusqu’à obtenir 0. La décomposition en facteurs premiers marche très bien sur des petits nombres et aide à comprendre. Pour de très petits entiers, lister les diviseurs peut aussi servir de vérification.

Pourquoi utiliser le PGCD plutôt qu'un autre diviseur commun ?

Le PGCD garantit une simplification maximale des fractions et une factorisation “au plus grand facteur commun”. Utiliser un autre diviseur commun réduit, mais pas forcément complètement. Le PGCD est unique pour chaque paire de nombres, donc il donne un résultat stable.

Peut-on calculer le PGCD de nombres négatifs ?

Oui : par définition, le PGCD est toujours positif. On travaille avec les valeurs absolues, donc PGCD(-24,36) = PGCD(24,36) = 12. Les règles de divisibilité restent les mêmes.

Quelle est l'erreur la plus fréquente dans le calcul du PGCD ?

La plus fréquente est de confondre diviseur commun et PGCD, en s’arrêtant trop tôt. Autre erreur : ne pas poursuivre l’algorithme d’Euclide jusqu’au reste nul. En facteurs premiers, beaucoup prennent les exposants maximaux au lieu des minimaux.